1) \(\sqrt{2^a \times 5^b} = 2^{\frac{a}{2}} \times 5^{\frac{b}{2}}\) 이 자연수가 되려면 지수 \(\dfrac{a}{2}\) 와 \(\dfrac{b}{2}\) 가 모두 자연수여야 하므로, 두 자연수 \(a, b\)는 모두 짝수(\(2\)의 배수)여야 합니다.
2) 따라서 가장 작은 짝수인 \(a = 2,\; b = 2\) 일 때 \(a + b\)는 최솟값 \(m = 2 + 2 = 4\) 를 갖습니다.
3) 두 번째 조건 \(\log_2 a + \log_2 b = \log_2(ab) = 4\) 에서 \(ab = 2^4 = 16\) 입니다.
4) \(ab = 16\) 을 만족시키는 두 짝수 자연수 \((a, b)\)의 순서쌍은 \((2, 8),\; (4, 4),\; (8, 2)\) 입니다.
5) 이 중 \(a + b\)의 최댓값은 \((2, 8)\) 또는 \((8, 2)\) 일 때 \(M = 2 + 8 = 10\) 이므로, 구하는 값은 \(m + M = 4 + 10 = 14\) 입니다.

1) 함수 \(f(x) = 2^x - 1\) 의 역함수를 구하면 \(y = \log_2(x + 1)\) 이므로 두 곡선은 직선 \(y = x\) 에 대하여 대칭입니다.
2) 직선 \(y = -x + k\) 도 직선 \(y = x\) 에 수직이므로 두 교점 \(\text{A}(x_1, y_1)\) 과 \(\text{B}(x_2, y_2)\) (\(x_1 < x_2\))는 직선 \(y = x\) 에 대하여 대칭입니다(\(x_2 = y_1,\; y_2 = x_1\)).
3) 선분 \(\text{AB}\)의 길이가 \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{2}(x_2 - x_1) = \sqrt{2}\) 이므로 \(x_2 - x_1 = 1\), 즉 \(y_1 - x_1 = 1 \implies y_1 = x_1 + 1\) 입니다.
4) 점 \(\text{A}(x_1, x_1 + 1)\) 이 곡선 \(y = 2^x - 1\) 위의 점이므로 \(2^{x_1} - 1 = x_1 + 1 \implies 2^{x_1} = x_1 + 2\) 이며, 제\(1\)사분면(\(x_1 > 0\))에서 아래로 볼록한 지수함수와 직선의 교점은 \(x_1 = 2\) 로 유일합니다.
5) 따라서 \(\text{A}(2, 3),\; \text{B}(3, 2)\) 이므로 \(k = x_1 + y_1 = 2 + 3 = 5\) 이며, 원점 \(\text{O}(0, 0)\) 에서 직선 \(x + y - 5 = 0\) 까지의 거리는 \(h = \dfrac{5}{\sqrt{2}}\) 이므로 삼각형 \(\text{OAB}\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \dfrac{5}{\sqrt{2}} = \dfrac{5}{2}\) 입니다.

1) \(\pi\sin x = t\) 로 치환하면 \(0 \le x \le 2\pi\) 에서 \(-1 \le \sin x \le 1\) 이므로 \(-\pi \le t \le \pi\) 입니다.
2) 구간 \([-\pi, \pi]\) 에서 방정식 \(\cos t = 0\) 을 만족시키는 \(t\)의 값은 \[t = -\dfrac{\pi}{2} \quad\text{또는}\quad t = \dfrac{\pi}{2}\] 입니다.
3) \(t = \pi\sin x\) 를 다시 대입하면 \[\sin x = -\dfrac{1}{2} \quad\text{또는}\quad \sin x = \dfrac{1}{2}\] 입니다.
4) 닫힌구간 \([0, 2\pi]\) 에서
• \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 의 두 실근은 \(x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6}\) (합: \(\pi\))
• \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\) 의 두 실근은 \(x = \dfrac{7\pi}{6},\; \dfrac{11\pi}{6}\) (합: \(3\pi\))
입니다. 따라서 서로 다른 모든 실근의 개수는 \(4\)개이고, 모든 실근의 합은 \(\pi + 3\pi = 4\pi\) 입니다.

1) 삼각형 \(\text{ABD}\)에서 \(\overline{\text{AB}} = \overline{\text{AD}} = 2\sqrt{3}\) 이고 \(\angle\text{BAD} = \dfrac{2\pi}{3}\) 이므로 코사인법칙에 의하여 대각선 \(\overline{\text{BD}}\)의 길이는 \[\overline{\text{BD}}^2 = (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2(2\sqrt{3})(2\sqrt{3})\cos\dfrac{2\pi}{3} = 12 + 12 - 24\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 36 \implies \overline{\text{BD}} = 6\] 입니다.
2) 삼각형 \(\text{ABD}\)의 외접원은 사각형 \(\text{ABCD}\)의 외접원과 같으므로 사인법칙에 의하여 \[2R = \dfrac{\overline{\text{BD}}}{\sin(\angle\text{BAD})} = \dfrac{6}{\sin\frac{2\pi}{3}} = \dfrac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \implies R = 2\sqrt{3}\] 입니다.
3) 사각형 \(\text{ABCD}\)가 원에 내접하므로 \(\angle\text{BCD} = \pi - \angle\text{BAD} = \dfrac{\pi}{3}\) 입니다.
4) \(\overline{\text{CD}} = x\; (x > 0)\) 라 하고 삼각형 \(\text{BCD}\)에 코사인법칙을 적용하면 \[\overline{\text{BD}}^2 = \overline{\text{BC}}^2 + x^2 - 2 \cdot \overline{\text{BC}} \cdot x \cos\dfrac{\pi}{3} \implies 36 = 16 + x^2 - 4x \implies x^2 - 4x - 20 = 0\] 이므로 근의 공식(\(x > 0\))에 의하여 \(\overline{\text{CD}} = 2 + 2\sqrt{6}\) 입니다.

1) \(a_4 = 3\) 으로부터 역추적하여 가능한 \(a_3, a_2, a_1\) 의 값을 단계별로 구합니다.
• \(a_4 = 3\) 일 때:
(i) \(a_3 \ge 4\) 이면 \(a_3 - 3 = 3 \implies a_3 = 6\) (조건 만족)
(ii) \(a_3 \le 3\) 이면 \(2a_3 + 1 = 3 \implies a_3 = 1\) (조건 만족)
따라서 \(a_3 \in \{1, 6\}\) 입니다.
2) 각 \(a_3\) 에 대하여 \(a_2\) 를 구합니다.
• \(a_3 = 1\) 일 때: \(a_2 \ge 4\) 이면 \(a_2 - 3 = 1 \implies a_2 = 4\); \(a_2 \le 3\) 이면 \(2a_2 + 1 = 1 \implies a_2 = 0\) (자연수 아님).
• \(a_3 = 6\) 일 때: \(a_2 \ge 4\) 이면 \(a_2 - 3 = 6 \implies a_2 = 9\); \(a_2 \le 3\) 이면 \(2a_2 + 1 = 6\) (자연수 해 없음).
따라서 \(a_2 \in \{4, 9\}\) 입니다.
3) 각 \(a_2\) 에 대하여 자연수 \(a_1\) 을 구합니다.
• \(a_2 = 4\) 일 때: \(a_1 \ge 4 \implies a_1 - 3 = 4 \implies a_1 = 7\); \(a_1 \le 3 \implies 2a_1 + 1 = 4\) (자연수 해 없음).
• \(a_2 = 9\) 일 때: \(a_1 \ge 4 \implies a_1 - 3 = 9 \implies a_1 = 12\); \(a_1 \le 3 \implies 2a_1 + 1 = 9 \implies a_1 = 4\) (\(a_1 \le 3\) 조건 불만족).
4) 따라서 가능한 첫째항 \(a_1\) 은 \(7\) 과 \(12\) 이며, 모든 \(a_1\) 의 값의 합은 \(7 + 12 = 19\) 입니다.

1) 분자 \(x + 1\) 은 실수 전체에서 연속이므로, 분수함수 \(g(x) = \dfrac{x + 1}{f(x)}\) 이 실수 전체에서 연속이려면
(조건 1) 분모 \(f(x)\)가 경계점 \(x = 2\) 에서 연속이거나 \(x = 2\) 에서 분자가 \(0\)이어야 하는데, \(x = 2\) 에서 분자는 \(2 + 1 = 3 \neq 0\) 이므로 반드시 \(f(x)\)가 \(x = 2\) 에서 연속이어야 하고,
(조건 2) 모든 실수 \(x\)에 대하여 분모 \(f(x) \neq 0\) 이어야 합니다.
2) 먼저 \(x = 2\) 에서 \(f(x)\)가 연속이려면 \[\lim_{x \to 2^-} (x^2 - 4x + 6) = 2 + k \implies 4 - 8 + 6 = 2 = 2 + k \implies k = 0\] 입니다.
3) \(k = 0\) 일 때 모든 실수 \(x\)에서 \(f(x) \neq 0\) 인지 확인합니다.
• \(x < 2\) 일 때: \(f(x) = (x - 2)^2 + 2 > 2 > 0\)
• \(x \ge 2\) 일 때: \(f(x) = x \ge 2 > 0\)
이므로 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) \ge 2 > 0\) 이 성립합니다. 따라서 구하는 상수 \(k\)의 값은 \(k = 0\) 입니다.

1) 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 \(g(x) = |f(x)|\) 가 \(x = 2\) 에서만 미분가능하지 않다는 것은, 곡선 \(y = f(x)\) 가 \(x = 2\) 에서는 \(x\)축과 단일근으로 교차(\(f(2) = 0,\; f'(2) \neq 0\))하고, 나머지 실근에서는 \(x\)축에 접해야 함을 의미합니다.
2) 문제에서 \(f(0) = 0\) 이고 \(f'(0) = 0\) 이므로 곡선 \(y = f(x)\) 는 \(x = 0\) 에서 \(x\)축에 접합니다(즉 \(x = 0\) 을 중근으로 갖습니다).
3) 따라서 삼차함수 \(f(x)\)는 \[f(x) = x^2(x - 2)\] 로 유일하게 결정됩니다.
4) 방정식 \(f(x) = 0\) 의 서로 다른 실근은 \(x = 0\) 과 \(x = 2\) 이므로 모든 실근의 합은 \(0 + 2 = 2\) 입니다.
5) 또한 \(f(4) = 4^2 \times (4 - 2) = 16 \times 2 = 32\) 입니다.

1) 최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(f(x)\)가 우함수(\(f(-x) = f(x)\))이고 극댓값 \(16\)을 가지므로, \(x = 0\) 에서 극댓값 \(f(0) = 16\) 을 갖고 대칭인 두 점 \(x = -a,\; a\; (a > 0)\) 에서 동일한 극솟값을 갖습니다.
2) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) \ge 0\) 이고 방정식 \(f(x) = 0\) 이 서로 다른 두 실근만을 가지므로, 곡선 \(y = f(x)\) 는 두 극소점 \(x = -a,\; a\) 에서 \(x\)축에 접해야 합니다. \[f(x) = (x - a)^2(x + a)^2 = (x^2 - a^2)^2 \quad (a > 0)\] 3) 극댓값 조건 \(f(0) = a^4 = 16\) 에서 \(a > 0\) 이므로 \(a = 2\) 입니다.
4) 따라서 \(f(x) = (x^2 - 4)^2\) 이며, 함수 \(f(x)\)의 극솟값은 \(f(\pm 2) = 0\) 이고 \(f(3) = (9 - 4)^2 = 25\) 입니다.

1) 피적분함수 \(f(t) = |t^2 - 4|\) 는 모든 실수 \(t\)에서 연속이므로, 미적분의 기본정리에 의하여 모든 양수 \(x\)에서 \(g(x)\)는 미분가능하고 도함수는 \[g'(x) = |x^2 - 4|\] 입니다.
2) 따라서 \(g'(3) = |3^2 - 4| = 5\) 이고, \(g'(1) = |1^2 - 4| = 3\) 이므로 \[g'(3) + g'(1) = 5 + 3 = 8\] 입니다.
3) 다음으로 \(g(3) = \int_{0}^{3} |t^2 - 4|\,dt\) 를 계산합니다. \(0 \le t \le 2\) 에서 \(t^2 - 4 \le 0\) 이고, \(2 \le t \le 3\) 에서 \(t^2 - 4 \ge 0\) 이므로 \[g(3) = \int_{0}^{2} (-t^2 + 4)\,dt + \int_{2}^{3} (t^2 - 4)\,dt\] \[= \left[-\dfrac{1}{3}t^3 + 4t\right]_{0}^{2} + \left[\dfrac{1}{3}t^3 - 4t\right]_{2}^{3} = \left(-\dfrac{8}{3} + 8\right) + \left\{(9 - 12) - \left(\dfrac{8}{3} - 8\right)\right\} = \dfrac{16}{3} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{23}{3}\] 입니다.

1) 점 \(\text{P}\)가 시각 \(t = 2\) 에서 운동 방향을 바꾸므로 \(v(2) = 0\) 입니다. \[2^2 - 2k + 6 = 0 \implies 2k = 10 \implies k = 5\] 2) 따라서 속도 함수는 \(v(t) = t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3)\) 이며, \(t = 2\) 이후 다시 운동 방향을 바꾸는 시각은 \(a = 3\) 입니다.
3) \(0 \le t \le 2\) 에서 \(v(t) \ge 0\) 이고 \(2 \le t \le 3\) 에서 \(v(t) \le 0\) 이므로, 시각 \(t = 0\) 에서 \(t = 3\) 까지 점 \(\text{P}\)가 움직인 거리 \(s\)는 \[s = \int_{0}^{2} (t^2 - 5t + 6)\,dt - \int_{2}^{3} (t^2 - 5t + 6)\,dt\] 입니다.
4) 각 정적분을 계산하면 \[\int_{0}^{2} (t^2 - 5t + 6)\,dt = \left[\dfrac{1}{3}t^3 - \dfrac{5}{2}t^2 + 6t\right]_{0}^{2} = \dfrac{8}{3} - 10 + 12 = \dfrac{14}{3}\] \[-\int_{2}^{3} (t - 2)(t - 3)\,dt = \dfrac{(3 - 2)^3}{6} = \dfrac{1}{6}\] 이므로 움직인 거리는 \(\dfrac{14}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{29}{6}\) 입니다.